\subsection{正方形}\label{subsec:czjh1-4-7}

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做\zhongdian{正方形}。

由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形。
所以，正方形同时具有矩形和菱形的所有性质。这些图形的包含关系如图 \ref{fig:czjh1-4-27}。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch4-27}
        \caption{}\label{fig:czjh1-4-27}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch4-28}
        \caption{}\label{fig:czjh1-4-28}
    \end{minipage}
\end{figure}

容易知道，正方形有下面性质：

\begin{dingli}[正方形性质定理1]
    正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
\end{dingli}

\begin{dingli}[正方形性质定理2]
    正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
\end{dingli}

反过来，如果一个图形既是矩形又是菱形，那么根据定义就可以断定它是正方形。


\liti[0] 已知：如图 \ref{fig:czjh1-4-28}，四边形 $ABCD$ 是正方形，$AA' = BB' = CC' = DD'$。

求证：四边形 $A'B'C'D'$ 是正方形。

\zhengming  $\because$ \quad 四边形 $ABCD$ 是正方形，

$\therefore$ \quad $AB = BC = CD = DA$ （正方形的四条边都相等）。

又 $\because$ \quad $AA' = BB' = CC' = DD'$，

$\therefore$ \quad $D'A = A'B = B'C = C'D$。

$\because$ \quad $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$ （正方形的四个角都是直角），

$\therefore$ \quad $\triangle AA'D' \quandeng \triangle BB'A' \quandeng \triangle CC'B' \quandeng \triangle DD'C'$。

$\therefore$ \quad $D'A' = A'B' = B'C' = C'D'$。

$\therefore$ \quad 四边形 $A'B'C'D'$ 是菱形（四边都相等的四边形是菱形）。

又 $\because$ \quad $\angle 2 = \angle 3$， $\angle 1 + \angle 2 = 90^\circ$，

$\therefore$ \quad $\angle 1 + \angle 3 = 90^\circ$。

$\because$ \quad $\angle D'A'B' = 180^\circ - \angle 1 - \angle 3 = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$，

$\therefore$ \quad 四边形 $A'B'C'D'$ 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。


\begin{lianxi}

\xiaoti{两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是哪种四边形？为什么？}

\xiaoti{正方形的一条对角线和一边所成的角是多少度的角？为什么？}

\xiaoti{如果一个菱形的两条对角线相等，那么它一定是正方形。为什么？}

\xiaoti{如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么它一定是正方形。为什么？}

\end{lianxi}

